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El teorema de Fermat a la luz de una vela

Javier Elizondo Huerta 09 / Sep / 19
¿Qué misterios oculta esta incógnita que ha fascinado durante siglos a los matemáticos?

En una cálida noche de otoño del siglo XVII, en la ciudad de Toulouse, Francia, se encontraba trabajando bajo la luz de una vela el matemático Pierre de Fermat. Leía con mucho detenimiento el famoso libro de la antigua Grecia, Arithmetica de Diofanto. Cuando de repente le vino a la mente, con toda claridad, lo que él creía que era un resultado hermoso y de cómo probar que éste era correcto. Para no olvidar la idea, escribió al margen del libro:

Si n es un número positivo mayor a 2, entonces no existen tres números enteros positivos, a, b y c, tal que satisfagan la ecuación an + bn= cn. Tengo una prueba pero no cabe en el espacio de este margen

En busca de verdades matemáticas

Un número es un entero positivo si no es una fracción, es decir, son los números 1, 2, 3, etc. Cuando n es igual a 2, el problema planteado por Fermat es el famoso teorema de Pitágoras, en donde sí hay números que satisfacen la ecuación. Así que muy probablemente Fermat trataba de ver si era posible generalizar este resultado de Pitágoras con potencias mayores que dos. Intuyó de alguna manera que no sería posible, que no existían números que hicieran la ecuación cierta. A este tipo de resultados, que tienen que probarse que son ciertos en todos los casos, se le llama un teorema. Las verdades matemáticas son estos teoremas y la investigación de los matemáticos consiste en crear más teoremas que construyan el mundo abstracto y fascinante de esta ciencia.

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Representación del teorema de Pitágoras | Foto: Especial

Pasaron alrededor de tres siglos y medio para encontrar una prueba de lo que se conoce como el teorema de Fermat.  El propio Fermat pudo escribir una prueba para cuando n es igual a cuatro. Es decir, probó que no hay tres números enteros que satisfagan la ecuación a4 + b4 = c4. Pero esto sólo sería el inicio de una larga historia que terminó en el año de 1995.

El teorema a lo largo de los siglos

Veamos un poco la historia sobre la prueba de este teorema. El primer paso fue estudiar un caso particular, n = 4, el propio Fermat probó este caso, se vio después que su prueba implicaba que bastaba probar el teorema para potencias que fueran números primos, es decir, números que sólo son divisibles por ellos mismos y el 1. Ejemplos de números primos son 3, 5, 7, 11. En los siguientes dos siglos se probó el teorema para los números primos 3, 5 y 7 como potencia. No se logró avanzar más. Entrado el siglo XIX, Ernst Kummer probó el teorema para una gran cantidad de números primos, y su trabajo sirvió para que con el uso de computadoras se probara el teorema para todos los exponentes primos que sean menores que cuatro millones. ¡Sorprendente! Esto fue un gran logro. No obstante, para los matemáticos saber que algo es cierto para un número tan grande de casos no significa que sea cierto para todos los casos. Qué tal si hay un potencia mayor a cuatro millones que permita que haya tres enteros positivos que satisfagan la ecuación.

Fue Andrew Wiles quien logró probar el teorema en 1995 con métodos muy distintos. La importancia de su demostración hablaremos en nuestra próxima nota.

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Andrew Wiles | Foto: Especial

Autor: Javier Elizondo Huerta
Doctor en matemáticas por la Universidad de Stony Brook en Nueva York y Postdoctorado en el Departamento de Matemáticas del International Centre of Theoricatlcal Physics, Trieste, Italia. Es investigador en el Instituto de Matemáticas desde 1992, actualmente es Investigador Titula B de TC y SNI Nivel II. Ha publicado artículos en revistas de arbitraje internacional en matemáticas y ha dirigido más de 30 tesis de licenciatura, maestría y doctorado.